Calcul du rayon de courbure d'une courbe gauche discrétisée

Objectif

Il s'agit de calculer une valeur approchée du rayon de courbure en utilisant les coordonnées existantes des points et non pas les formules classiques du repère de Frenet. Cette méthode a pour avantage de :
- s'affranchir de calculs différentiels difficiles si les équations sont connues mais complexes
- s'appliquer à des nuages de points quelconques obtenus par scanner 3D ou section de volumes en CAO 3D
- s'intégrer facilement dans un tableur.

Utilité

par exemple déterminer un diamètre maximal d'un outil de coupe.

Méthode

Trois points successifs sont coplanaires, il suffit de calculer le rayon du cercle qui passe par ces trois points. Par exception, les points d'extrémité se voient attribuer la courbure de leurs voisins respectifs. Les points sont censés être rapprochés, pour une meilleure précision de la courbe, donc l'angle θ sera souvent faible, et toujours inférieur à Π/2.

Etapes de calcul au point Mn

Coordonnées du vecteur Mn-1,Mn vecteur normal à un premier plan P1
Coordonnées du vecteur Mn,Mn+1 vecteur normal à un deuxième plan P2
Calcul de l'angle θ entre P1 et P2, angle entre les médiatrices des deux segments consécutifs
Calcul du rayon de courbure R

Formules

Concrètement les coefficients d et D n'ont pas d'importance car on cherche seulement l'angle ϴ entre les deux plans et non les équations de leur droite d'intersection.